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- 2020-10-17 发布
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第一届全国大学生数学竞赛预赛试题
第一届全国大学生数学竞赛预赛试题
n
n 0
第一届全国大学生数学竞赛预赛试题
第一届全国大学生数学竞赛预赛试题
n
n 0
2.
3.
4.
、填空题(每小题5分,共20 分)
(x y)l n(1》) 计算 d —. -^y x dxdy
,其中区域D由直线x y 1与两坐标轴所围成三角形区域.
2
设f (x)是连续函数,且满足 f(x) 3x2 * o f (x)dx 2,贝U f(x)
2
x 2
曲面z y 2平行平面2x 2y z 0的切平面方程是
2
f(y)
设函数y y(x)由方程xef(y) ey
In 29确定,其中f具有二阶导数,且f 1,则d4
dx
x 2x nx e
、(5分)求极限叫…n ",其中n是给定的正整数.
三、(15分)设函数f (x)连续,g(x)1 f (xt)dt,且 lim A
三、(15分)设函数f (x)连续,
g(x)
0 x 0 x
在x 0处的连续性.
四、(15分)已知平面区域D {( x, y) | 0 x,0 y},L为
四、(15分)已知平面区域D {( x, y) | 0 x
,0 y
},L为D的正向边界,试证:
msin y -
xe dy
sin x sin y .
ye dx xe dy
sin x
ye
dx ;
sin y sin y
(2) xe dy ye dx
L
五、(10分)已知y1
x 2x
xe e , y2
x x
xe e , ya
xex e2x e x是某二阶常系数线性非齐次微分
方程的三个解,试求此微分方程
六、(10分)设抛物线y ax bx 2I nc过原点.当0 x 1时,y 0,又已知该抛物线与x轴及直线 x 1所围图形的面积为1.试确定a,b,c,使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.
3
七、(15分)已知5(X)满足Un(x) Un(x) X“ 1( n 1,2,),且Un(1)-,求函数项级数 Un(X)之和.
n n 1
第二届全国大学生数学竞赛预赛试题
、(25分,每小题5分)
(1)设 Xn
(1)
设 Xn (1 a)(1 a2)L (1 a2 * ),其中 |a| 1,求]im x“.
(2)求 lim e
x
x2
11 。
X
(3)(4)设函数f(t)有二阶连续导数,r 厂7,g(x,y)2g。y(5)求直线h:; 00与直线.号 专 葺的距离。、(15分)设函数
(3)
(4)
设函数f(t)有二阶连续导数,r 厂7,g(x,y)
2
g
。
y
(5)
求直线h:; 00与直线.号 专 葺的距离。
、(15分)设函数f(x)在(
)上具有二阶导数,
并且f (x)
0,lim f (x)
x
0,lim f (x) 0,且
x
存在一点xo,
使得f(xo)
0,证明:方程f(x) 0在(
)恰有两个实根。
三、(15分)
设函数y
x 2t t2 f(x)由参数方程y (t)(t
1)所确定,其中(t)具有二阶导数,曲线
y (t)与 y
t2
e u du
1
—在t 1出相切,求函数 (t)
2e
四、(15 分)设 an 0,Sn
n
ak,证明:(1)当 1时,级数
k 1
ST 收敛;(2)当 1且 Sn
(n
设 s 0,求 I ° e sxxndx( n 1,2,L )。
时,级数色发散。
n 1 Sn
五、(15分)设l是过原点、方向为(
),(其中2
其中(0 c b a,密度为1)绕I旋转。(1)求其转动惯量;(2)求其转动惯量关于方向(,,)的
最大值和最小值。
六、(15分)设函数(x)具有连续的导数,在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线 C上,曲线积分
?2xyd: (x)dy的值为常数。(1)设L为正向闭曲线(x 2) 2 2 y2 1,证明?"电(2x)dy 0; (2)
2 2
c x y c x y
求函数(x) ;(3)设C是围绕原点的光滑简单正向闭曲线,求 ? 一驴。
c x y
第三届全国大学生数学竞赛预赛试题
第三届全国大学生数学竞赛预赛试题
第三届全国大学生数学竞赛预赛试题
第三届全国大学生数学竞赛预赛试题
计算下列各题
(1) ?求 lim 业
x 0 x
(共3小题,每小题各5 分,
1
1 cosx
7
共15分)
(2).求 lim - n n
(3)
x
已知
y
ln 1 e2t
t arctang
.(10分)求方程2x y
4 dx x y
1 dy 0的通解
.(15分)设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数,且 f
证明:存在唯一一组实数
k1,k2,k3,使得 limk1fh k2f2h2
123 h 0 h2
,f 0 ,f
k3f 3h
0均不为0,
2
x
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