全国大学生数学竞赛赛试题(1-9届).docx 12页

第一届全国大学生数学竞赛预赛试题 第一届全国大学生数学竞赛预赛试题 n n 0 第一届全国大学生数学竞赛预赛试题 第一届全国大学生数学竞赛预赛试题 n n 0 2. 3. 4. 、填空题(每小题5分，共20 分) (x y)l n(1》) 计算 d —. -^y x dxdy ,其中区域D由直线x y 1与两坐标轴所围成三角形区域. 2 设f (x)是连续函数，且满足 f(x) 3x2 * o f (x)dx 2,贝U f(x) 2 x 2 曲面z y 2平行平面2x 2y z 0的切平面方程是 2 f(y) 设函数y y(x)由方程xef(y) ey In 29确定，其中f具有二阶导数，且f 1，则d4 dx x 2x nx e 、(5分)求极限叫…n "，其中n是给定的正整数. 三、(15分)设函数f (x)连续,g(x)1 f (xt)dt，且 lim A 三、(15分)设函数f (x)连续, g(x) 0 x 0 x 在x 0处的连续性. 四、(15分)已知平面区域D {( x, y) | 0 x,0 y}，L为 四、(15分)已知平面区域D {( x, y) | 0 x ,0 y }，L为D的正向边界，试证: msin y - xe dy sin x sin y . ye dx xe dy sin x ye dx ; sin y sin y (2) xe dy ye dx L 五、(10分)已知y1 x 2x xe e ， y2 x x xe e ， ya xex e2x e x是某二阶常系数线性非齐次微分 方程的三个解，试求此微分方程 六、(10分)设抛物线y ax bx 2I nc过原点.当0 x 1时,y 0,又已知该抛物线与x轴及直线 x 1所围图形的面积为1.试确定a,b,c,使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积最小. 3 七、(15分)已知5(X)满足Un(x) Un(x) X“ 1( n 1,2,),且Un(1)-,求函数项级数 Un(X)之和. n n 1 第二届全国大学生数学竞赛预赛试题 、（25分，每小题5分） (1)设 Xn (1) 设 Xn (1 a)(1 a2)L (1 a2 * ),其中 |a| 1,求］im x“. (2)求 lim e x x2 11 。 X (3)(4)设函数f（t）有二阶连续导数，r 厂7,g（x,y）2g。y(5)求直线h：; 00与直线.号 专 葺的距离。、（15分）设函数 (3) (4) 设函数f（t）有二阶连续导数，r 厂7,g（x,y） 2 g 。 y (5) 求直线h：; 00与直线.号 专 葺的距离。 、（15分）设函数f（x）在（ ）上具有二阶导数, 并且f (x) 0,lim f (x) x 0,lim f (x) 0,且 x 存在一点xo， 使得f(xo) 0,证明：方程f（x） 0在（ ）恰有两个实根。 三、（15分） 设函数y x 2t t2 f(x)由参数方程y (t)(t 1）所确定，其中（t）具有二阶导数，曲线 y (t)与 y t2 e u du 1 —在t 1出相切，求函数 （t） 2e 四、（15 分）设 an 0,Sn n ak,证明：（1）当 1时，级数 k 1 ST 收敛；（2）当 1且 Sn (n 设 s 0，求 I ° e sxxndx( n 1,2,L )。 时，级数色发散。 n 1 Sn 五、（15分）设l是过原点、方向为（ ），（其中2 其中（0 c b a,密度为1）绕I旋转。（1）求其转动惯量；（2）求其转动惯量关于方向（，，）的 最大值和最小值。 六、（15分）设函数（x）具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线 C上，曲线积分 ?2xyd： （x）dy的值为常数。（1）设L为正向闭曲线（x 2） 2 2 y2 1,证明?"电（2x）dy 0; （2） 2 2 c x y c x y 求函数（x） ；（3）设C是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求 ？ 一驴。 c x y 第三届全国大学生数学竞赛预赛试题 第三届全国大学生数学竞赛预赛试题 第三届全国大学生数学竞赛预赛试题 第三届全国大学生数学竞赛预赛试题 计算下列各题 (1) ?求 lim 业 x 0 x （共3小题，每小题各5 分, 1 1 cosx 7 共15分） (2).求 lim - n n (3) x 已知 y ln 1 e2t t arctang .（10分）求方程2x y 4 dx x y 1 dy 0的通解 .（15分）设函数f（x）在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且 f 证明：存在唯一一组实数 k1，k2，k3，使得 limk1fh k2f2h2 123 h 0 h2 ,f 0 ,f k3f 3h 0均不为0, 2 x