2003年考研数学一试题及完全解析(Word版).docx 20页

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  • 2020-10-18 发布

2003年考研数学一试题及完全解析(Word版).docx

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    . 2003 年全国硕士研究生入学统一考试 数学 ( 一) 试卷答案解析 一、填空题 (本题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分 . 把答案填在题中横线上) 1 1 ( 1) lim (cos x) ln(1 x2 ) = . x 0 e 【分析】 1 型未定式, 化为指数函数或利用公式 lim f ( x) g ( x) (1 ) = elim( f ( x) 1) g (x ) 进行 计算求极限均可 . 1 lim 1 【详解 1】 lim (cos x) ln(1 x2 ) ln cos x = ex 0 ln(1 x2 ) , x 0 而 lim ln cos x lim ln cos x sin x 1 , lim cos x x 0 ln(1 x 2 ) x 0 x 2 x 0 2x 2 1 1 . 故 原式 = e 2 e 1 1 x2 1 【详解 2】 因为 lim (cos x 1) lim 2 , 2 2 x 0 ln(1 x ) x 0 x 2 1 1 . 所以 原式 =e 2 e 【评注 】 本题属常规题型 ( 2 ) 曲 面 z x 2 y2 与 平 面 2x 4 y z 0 平 行 的 切 平 面 的 方 程 是 2x 4 y z 5 . 【分析 】 待求平面的法矢量为 n { 2,4, 1} ,因此只需确定切点坐标即可求出平面方 程, 而切点坐标可根据曲面 z x 2 y2 切平面的法矢量与 n { 2,4, 1} 平行确定 . 【详解 】 令 F (x, y, z) z x 2 y2 ,则 Fx 2x , Fy 2 y , Fz 1 . 设 切 点 坐 标 为 ( x0 , y0 , z0 ) , 则 切 平 面 的 法 矢 量 为 { 2x0 , 2 y0 ,1} , 其 与 已 知 平 面 . . 2x 4 y z 0 平行,因此有 2x0 2y0 1 , 2 4 1 可解得 x0 1, y0 2 ,相应地有 z0 x02 y02 5. 故所求的切平面方程为 2( x 1) 4( y 2) ( z 5) 0 ,即 2x 4y z 5 . 【评注 】 本题属基本题型。 ( 3) 设 x 2 an cosnx( x ) ,则 a2 = 1 . n 0 【分析 】将 f (x) x2 ( x ) 展开为余弦级数 x 2 an cos nx( x ) , n 0 其系数计算公式为 an 2 f (x) cosnxdx . 0 【详解 】 根据余弦级数的定义,有 a2 2 x 2 cos2xdx 1 0 x2 d sin 2x 0 = 1 [ x 2 sin 2x sin 2x 2xdx] 0 0 = 1 0 xd cos2x 1 [ x cos2x 0 cos2xdx] 0 =1. 【评注】 本题属基本题型, 主要考查傅里叶级数的展开公式, 本质上转化为定积分的 计算 . ( 4 ) 从 R2 的 基 1 1 , 2 1 到 基 1 1 , 2 1 的 过 渡 矩 阵 为 0 1 1 2 2 3 . 1 2 【分析 】 n 维向量空间中,从基 1 , 2 , , n 到基 1 , 2 , , n 的过渡矩阵 P 满足 [ 1 , 2 , , n ]=[ 1 , 2 , , n ]P,因此过渡矩阵 P 为:P=[ 1 , 2 , , n ] 1 [ 1 , 2 , , n ] . 【详解】根据定义,从 R2 的基 1 1 , 2 1 到基 1 1 , 2 1 的过渡矩 0 1 1 2 阵为 . . 1 P=[ 1 , 2 ] 1 [ 1, 2 ] 1 1 1 1 . 0 1 1 2 = 1 1 1 1 2 3 0 1 1 2 1 . 2 【评注 】 本题属基本题型。 ( 5)设二维随机变量 (X,Y)的概率密度为 f (x, y) 6x, 0 x y 1, 0, 其他, 则 P{ X Y 1} 1 . 4 【 分 析 】 已 知 二 维 随 机 变 量 (X,Y)的 概 率 密 度 f(x,y) , 求 满 足 一 定 条 件 的 概 率 P{ g (X , Y) z0 } ,一般可转化为二重积分 P{ g ( X ,Y ) z0} = f (x, y) dxdy 进行计算 . g (x , y) z0 【详解 】 由题设,有 1 1 x P{ X Y 1} f ( x, y) dxdy 2 dx 6xdy x y 1 0 x 1 1. = 2 (6x 12 x2 ) dx 0 4 y 1 D O 1 1 x 2 【评注 】 本题属基本题型,但在计算

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    • 内容提供方:zsmfjh
    • 审核时间:2020-10-18
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